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1.      Os elétrons emitidos têm velocidades iniciais finitas E VARIÁVEIS CONFORME SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI, são independentes da intensidade da luz incidente, porém, dependem de sua freqüência, E DA NATUREZA CATEGORIAL GRACELI DE TODAS ENERGIAS, TIPOS DE ESTRUTURAS, FENÔMENOS, POTENCIAIS DE TRANSIÇÕES DE FASES, E OUTROS. CONFORME O SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI.

2.      O número total de elétrons emitidos é proporcional à intensidade da luz incidente, E CONFORME A NATUREZA CATEGORIAL GRACELI DE TODAS ENERGIAS, TIPOS DE ESTRUTURAS, FENÔMENOS, POTENCIAIS DE TRANSIÇÕES DE FASES, E OUTROS. CONFORME O SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI.

Observação e Explicação do Efeito Fotoelétrico NO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI.

Analisando o efeito fotoelétrico quantitativamente usando o método de Einstein, as seguintes equações equivalentes são usadas:

Energia do fóton = Energia necessária para remover um elétron + Energia cinética do elétron emitido

Mais detalhes em: Energia do fóton

Algebricamente:

${\displaystyle hf=\phi +E_{c_{max}}\,}$

X

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Onde:

• h é a constante de Planck,
• f é a frequência do foton incidente,
• ${\displaystyle \phi =hf_{0}\ }$ é a função trabalho, ou energia mínima exigida para remover um elétron de sua ligação atômica,
• ${\displaystyle E_{c_{max}}={\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}}$ é a energia cinética máxima dos elétrons expelidos,
• f₀ é a frequência mínima para o efeito fotoelétrico ocorrer,
• m é a massa de repouso do elétron expelido, e
• v_m é a velocidade dos elétrons expelidos.

Notas:

Se a energia do fóton (hf) não é maior que a função trabalho (${\displaystyle \phi }$), nenhum elétron será emitido. A função trabalho é ocasionalmente designada por ${\displaystyle W}$.

Em física do estado sólido costuma-se usar a energia de Fermi e não a energia de nível de vácuo como referencial nesta equação, o que faz com que a mesma adquira uma forma um pouco diferente.

Note-se ainda que ao aumentar a intensidade da radiação incidente não vai causar uma maior energia cinética dos elétrons (ou electrões) ejectados, mas sim um maior número de partículas deste tipo removidas por unidade de tempo.

Aplicações

Em trabalho publicado em 1887 (Annalen der Physik 31, p. 421), o físico alemão Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) registrou as experiências realizadas com osciladores e, com estes, produziu radiações eletromagnéticas, hoje conhecidas como microondas ou ondas Hertzianas. Esse dispositivo usado por Hertz era constituído de duas esferas metálicas, cada uma portadora de uma haste, tendo em sua extremidade uma outra esfera metálica, porém pequena, estando ambas as hastes ligadas por uma bobina de Rühmkorff. [Note-se que esse dispositivo, capaz de produzir centelhas de comprimentos moderados, foi inventado em 1851, pelo mecânico e eletricista alemão Heinrich Daniel Rühmkorff (1803-1877).] Pois bem, ao alimentar essa bobina com um circuito elétrico oscilante, Hertz observou que havia faíscas (centelhas) entre as esferas metálicas, faíscas essas que deviam produzir uma radiação eletromagnética, conforme havia sido preconizada pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), em 1865 (Philosophical Magazine 29, p. 152; Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, p. 459). Desse modo, usando um ressoador (fio grosso de cobre e circular e interrompido por um pequeno arco, tendo em uma de suas extremidades uma pequena esfera, e na outra, um parafuso que podia avançar ou recuar para controlar a abertura do circuito) Hertz encontrou o valor de 66 cm para o comprimento de onda daquela radiação. Foi por ocasião dessas experiências que Hertz observou que, quando a esfera negativamente eletrizada de seu oscilador era iluminada com luz ultravioleta, as centelhas surgiam mais facilmente. Logo depois, em 1888, o engenheiro e físico italiano Augusto Righi (1850-1920) percebeu que, quando dois eletrodos eram expostos a uma radiação ultravioleta, eles atuavam como um par voltaico. A esse fenômeno Righi deu o nome de efeito foto-elétrico. É oportuno observar que Righi publicou, em 1897, o livro intitulado L´Ottica delle Oscillazioni Elettriche, no qual registrou o resultado de suas experiências com as ondas Hertzianas. Ainda em 1888 (Annales de Chimie et Physique 33; 34, pgs. 301; 731), o físico alemão Wilhelm Hallwachs (1859-1922) realizou experiências nas quais observou que uma placa de zinco () descarregada e isolada, passava a carregar-se positivamente quando recebia radiação ultravioleta proveniente de uma lâmpada de quartzo. Em 1889 Annales de Chimie et Physique 37, p. 666), Hallwachs anunciou que outros metais [rubídio (Rb), potássio (K), sódio (Na), lítio (Li), magnésio (Mg) e tório (Th)] se comportavam como o zinco, quando iluminados com luz ultravioleta. É oportuno notar que, por essa época, esse fenômeno também era conhecido como efeito Hallwachs, conforme afirmam R. G. W. Brown e E. R. Pike no livro Twentieth Century Physics III (Institute of Physics Publishing and American Institute of Physics Press, 1995).     

                         Antes de Hertz, Righi e Hallwachs, o físico russo Aleksandr Grigoryevich Stoletov (1839-1896) já havia realizado, em 1872, uma primeira observação experimental sobre o efeito foto-elétrico. O experimento de Stoletov consistiu do seguinte: dois discos metálicos de 22 cm de diâmetro (um maciço e o outro em forma de rede) foram colocados verticalmente frente a um arco voltaico, unidos por intermédio de uma bateria elétrica e de um galvanômetro. Durante a iluminação (com luz ultravioleta provinda desse arco) do disco metálico maciço, unido ao pólo negativo da bateria, foi registrado uma corrente elétrica através do galvanômetro, quando a tensão entre os bornes da bateria se fixava em 0,01 volts. Em 1888 (Comptes Rendus de l´Academie des Sciences de Paris 106, p. 1149), Stoletov desenvolveu um método experimental para estudar o efeito foto-elétrico, cujos resultados foram apresentados em um trabalho preparado em 1889, intitulado Aktinoelektricheskie issledovania (``Investigações actinoelétricas’’). Nesse trabalho, reuniu as experiências que realizou, nas quais observou que havia perda de carga elétrica negativa em um metal iluminado com luz ultravioleta. Mais especificamente, ele observou que, iluminando a placa negativa de um condensador com esse tipo de luz, percebia-se uma corrente elétrica contínua em um circuito contendo esse condensador, cuja intensidade era proporcional à intensidade da luz incidente e à área iluminada. Além do mais, investigando a relação entre essa foto-corrente e a diferença de potencial externa ao circuito considerado, Stoletov descobriu a existência de uma corrente de saturação. Essas são, portanto, as primeiras leis do efeito foto-elétrico.

                         Apesar dessas observações de Stoletov, Hertz, Righi e Hallwachs sobre o efeito foto-elétrico, é ao físico húngaro-alemão Philipp Eduard Anton von Lenard (1862-1947; PNF, 1905), assistente de Hertz, que se atribui a descoberta das leis desse novo fenômeno físico. Com efeito, em 1899 começou a realizar experiências que o levaram a essa descoberta. Nessas experiências, observou que elétrons eram emitidos de superfícies metálicas quando nelas incidiam radiação eletromagnética. No entanto, somente em 1902 (Annalesde Physique, Leipzig 8, p. 149), Lenard apresentou as hoje conhecidas leis do efeito foto-elétrico:

1.      Os elétrons emitidos têm velocidades iniciais finitas E VARIÁVEIS CONFORME SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI, são independentes da intensidade da luz incidente, porém, dependem de sua freqüência, E DA NATUREZA CATEGORIAL GRACELI DE TODAS ENERGIAS, TIPOS DE ESTRUTURAS, FENÔMENOS, POTENCIAIS DE TRANSIÇÕES DE FASES, E OUTROS. CONFORME O SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI.

2.      O número total de elétrons emitidos é proporcional à intensidade da luz incidente, E CONFORME A NATUREZA CATEGORIAL GRACELI DE TODAS ENERGIAS, TIPOS DE ESTRUTURAS, FENÔMENOS, POTENCIAIS DE TRANSIÇÕES DE FASES, E OUTROS. CONFORME O SISTEMA DE CATEGORIAS DE GRACELI.

                         Essas leis, contudo, não eram explicadas pelo eletromagnetismo que o físico e matemático escocês James Clerk Maxwell (1831-1879) desenvolvera em seu famoso livro A Treatise on Electricity and Magnetism (Dover, 1954), publicado pela primeira vez em 1873. Por exemplo, segundo esse eletromagnetismo, quanto mais intensa a radiação eletromagnética incidente em um material foto-elétrico, maior seria a velocidade do elétron arrancado. Além do mais, como essa radiação era distribuída em uma onda, de acordo com o eletromagnetismo Maxwelliano, era necessário um tempo razoável para que tal radiação arrancasse elétrons do material emissor.    

                         Esse fenômeno foi explicado heuristicamente pelo físico germano-suíço-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921), em 1905 (Annales de Physique, Leipzig 17, p. 132) com sua interpretação quântica da luz. A idéia de Einstein era bastante simples, pois admitiu que a energia da radiação eletromagnética não era distribuída uniformemente sobre as frentes de ondas de freqüência  e sim, concentrada em pequenas regiões, isto é, eram verdadeiros “pacotes” de energia  denominados por Einstein de Lichtquantum (“quantum de luz”). Portanto, no efeito foto-elétrico, o “quantum de luz” ao colidir com um elétron do átomo emissor, cede uma parte de sua energia ao elétron, que o utiliza para vencer a energia de ligação () que o liga ao átomo, e a diferença, pelo Princípio da Conservação da Energia, é a energia cinética () com que o elétron sai do material, isto é: . Registre-se que essa simples expressão explicou as leis de Stoletov-Lenard, como facilmente se pode ver. É oportuno destacar que, em 1914 (Physical Review 4, p. 73), o físico norte-americano Robert Andrews Millikan (1868-1953; PNF, 1923) apresentou o resultado de suas primeiras experiências sobre a  determinação da constante de Planck h usando essa expressão de Einstein. Em suas experiências, Millikan iluminou, com luz visível emitida pelo mercúrio (Hg), vários metais alcalinos fotossensíveis. Novos resultados foram apresentados por Millikan, em 1915 (Physical Review 6, p. 55) e, em 1916 (Physical Review 7, pgs. 18; 355). Note-se que o valor de h obtido por Millikan, por intermédio do efeito foto-elétrico, diferiu de apenas 0.5% do valor teórico que o físico alemão Max Karl Ernest Planck (1858-1947; PNF, 1918) havia proposto, em 1900 (Verhandlungen der Deustschen Physikalischen Gesellschaft 2, p. 237), em sua célebre Teoria Quântica:   Observe-se que o quantum de luz Einsteniano (Lichtquantum) recebeu o nome de fóton, em 1926 (Nature 118, p. 874), cunhado pelo químico norte-americano Gilbert Newton Lewis (1875-1946), e que o PNF (1921) recebido por Einstein foi devido a sua explicação do efeito foto-elétrico.

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Paradoxo Termodinâmico e a Mecânica Estatística Quântica  NO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI.

Em 1902, o físico norte-americano Josiah Williard Gibbs (1839-1903) publicou o livro intitulado Elementary Principles in Statistical Mechanics (Yale University Press), no qual retomou o trabalho do físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906) de 1877 (vide verbete nesta série), porém, em vez de tratar um gás como constituído de moléculas em constante colisão, como fizera Boltzmann, Gibbs partiu do espaço de fase T, ocupado pelo gás, e trabalhou com uma função de distribuição (r) de pontos nesse espaço. Num certo instante de tempo t, cada ponto no espaço de fase corresponde a uma cópia do sistema estudado, que está sujeito a determinadas condições macroscópicas. Esta é a idéia de ensemble, e corresponde ao W, número de configurações possíveis de um sistema, considerado por Boltzmann. Desse modo, Gibbs observou que se wr indica o volume ocupado por nr partículas, o volume total nesse espaço, que corresponde a uma particular distribuição das partículas constituintes desse gás, será dado por: X T l    T l     E l       Fl         dfG l    N l    El                 tf l P l    Ml                 tfefel  Ta l   Rl          Ll          Dl Examinando essa expressão, Gibbs percebeu que havia necessidade de discriminar entre gases consistindo de partículas idênticas. Assim, no livro referido acima, colocou a seguinte questão:Se duas fases diferem somente pelo fato de partículas similares haverem trocado de lugar umas com as outras, elas devem ser consideradas como indistinguíveis ou apenas em fases diferentes? Se as partículas são consideradas como indistinguíveis, então, de acordo com o espírito do método estatístico, as fases devem ser consideradas como idênticas. Essa pergunta ficou conhecida como o famoso Paradoxo Termodinâmico de Gibbs, conforme nos conta Cyril Domb no livro intitulado Twentieth Century Physics, Volume I [Laurie M. Brown, Abraham Pais and Sir Brian Pippard (Editores), Institute of Physics Publishing and American Institute of Physics Press, 1995], enunciado da seguinte maneira: Sejam dois fluidos colocados em dois recipientes separados por uma barreira. Se os dois fluidos são idênticos e a barreira é removida, não haverá mudança na entropia; se não são idênticos haverá mudança na entropia. A solução desse paradoxo, qual seja, como distinguir esses dois casos, só foi dada com a introdução da Mecânica Estatística Quântica. Com efeito, em 1924, os físicos, o indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o germano-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) (Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematisch-Physikalische Klasse, Sitzungsberichte, p. 261) mostraram que, para partículas indistinguíveis sem limite de número para ocupar qualquer nível de energia, a expressão acima proposta por Gibbs deve ser substituída por (com gi substituindo wi): X T l    T l     E l       Fl         dfG l    N l    El                 tf l P l    Ml                 tfefel  Ta l   Rl          Ll          Dl Por outro lado, em 1926, os físicos, o italiano Enrico Fermi (1901-1954; PNF, 1938) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o inglês Paul Maurice Adrien Dirac (1902-1984; PNF, 1933) (Proceedings of the Royal Society of London A112, p. 661), observaram que a expressão acima deveria ser modificada para tratar o caso de partículas indistinguíveis, em que duas delas não podem ocupar o mesmo nível de energia: Desse modo, as partículas indistinguíveis são tratadas por esses dois tipos de Estatística e hoje elas são chamadas, respectivamente, de bósons e de férmions.

Movimento Browniano, Einstein e Bachelier no sistema categorial Graceli.

matriz categorial Graceli.

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Movimento Browniano, Einstein e Bachelier.

Em 1828 (Philosophical Magazine 4, p. 161; Annalen der Physik und Chemie 14, p. 294), o botânico escocês Robert Brown (1773-1858) realizou experiências nas quais observou, com a ajuda de um microscópio, que numa suspensão de grãos de pólen (da planta Clarckia pulchella) em água, cada grão se movia irregularmente. Como esse fenômeno repetiu-se com todas as espécies de substâncias orgânicas, Brown acreditou haver encontrado a molécula primitiva da matéria viva. No decorrer dessas experiências, Brown observou que o mesmo fenômeno acontecia com as substâncias inorgânicas ao distribuir partículas de corante em água, havendo, então, concluído que toda a matéria viva era constituída de moléculas primitivas. Mais tarde, esse fenômeno passou a ser conhecido como movimento Browniano (MB).Depois da observação de Brown, muitos cientistas fizeram novas investigações sobre o MB, conforme se pode ver no artigo sobre esse movimento apresentado nesse mesmo site (Ver O MOVIMENTO BROWNIANO), nos comentários que o físico norte-americano John Stachel descreveu no livro O Ano Miraculoso de Einstein: Cinco Artigos que Mudaram a Face da Física (EDUFRJ, 2001) e nas Notas que o físico alemão Reinhold Fürth apresentou no livro que ele próprio editou sobre os trabalhos do físico germano-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) a respeito do MB (EINSTEIN, A. Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover Publications, Inc., 1956). Vejamos essas investigações. Em 1858, o químico e físico franco-alemão Henri Victor Regnault (1810-1878) acreditava que esse movimento era devido ao aumento irregular da temperatura da água em decorrência da incidência da luz. Por sua vez, em 1863, o matemático e físico alemão Christian Wiener (1826-1896) atribuiu esse movimento a movimentos internos, próprios do estado líquido. Essa idéia de que "a agitação desordenada das moléculas da água, produzida pelo calor", era a origem do MB, foi defendida por alguns físicos, como o italiano Giovani Cantoni (1818-1897), em 1867 (Nuovo Cimento 27, p. 156), e pelos jesuítas belgas Joseph Delsaulx (1828-1891), em 1877, e Ignace J. J. Carbonnelle (1829-1889), em 1877/1880. Com base também nessa idéia o físico francês Louis-George Gouy (1854-1926) fez as primeiras medições precisas desse fenômeno físico, chegando, inclusive, em 1888 (Journal de Physique 7, p. 561), a medir a velocidade das diferentes partículas em suspensão, e encontrá-la da ordem de uma milionésima centésima parte da velocidade molecular. Contudo, esse resultado foi colocado em dúvida pelo citologista suíço Karl Wilhelm von Naegeli (1817-1891), em 1870, ao mostrar, usando o Teorema da Eqüipartição da Energia, que aquela velocidade, em razão das massas comparativamente grandes das referidas partículas, seria desprezivelmente pequena. Por outro lado, uma origem elétrica para o MB, considerada por William Stanley Jevons (1835-1882), em 1870, foi rejeitada por Dancer, ainda em 1870, e pelo químico escocês Sir William Ramsay (1852-1916; PNQ, 1904), em 1877. Este, ao concordar com a hipótese de colisão molecular, chegou em 1892 a afirmar que alguns aspectos da pressão osmótica poderiam ser explicados por esse movimento. Em 1881, Bodoszewski observou esse movimento em gases e, em 1900 (Annalen der Physik 2, p. 843), o meteorologista alemão Felix Maria Exner (1876-1930) estabeleceu que a velocidade desse movimento decresce com o aumento do tamanho das partículas e aumenta com a elevação da temperatura. Foi Einstein quem começou a estudar matematicamente o MB em uma série de artigos escritos a partir de 1905 [Annalen der Physik 17, p. 549 (1905); 19, p. 371 (1906); 22, p. 569 (1907); Zeitschrift für Elektrochemie 13, p. 41 (1907); 14, p. 235 (1908)]. Com efeito, no trabalho de 1905, ao aplicar a Teoria Cinética dos Gases [lei de Stokes (1845) e lei de van´t Hoff (1886)] aos choques entre as moléculas do líquido e as do colóide em suspensão e a Teoria da Difusão [esta tratada como um processo Markoviano, conforme foi demonstrado pelo matemático russo Andrey Markov (1856-1922), em 1906, em seu estudo sobre os processos estocásticos] deduziu então uma expressão para o valor médio do deslocamento (lx) de partículas (pequenas esferas de raio P) na direção do eixo dos x no tempo t, dada por: , onde R é a constante universal dos gases, T a temperatura absoluta,N é o numero de Avogadro e k a viscosidade do líquido. Essa Fórmula de Einstein do Movimento Browniano mostra que N pode ser determinada experimentalmente, uma vez que todos os parâmetros nela envolvidos são encontrados também experimentalmente. Desta maneira, ela representa uma forte evidência da constituição atômica da matéria. Aliás, registre-se que, no trabalho de 1905, Einstein chegou a calcular que uma partícula em suspensão na água (k = 0,0135, T = 17oC) deveria avançar, em média, 0,006 mm em um minuto. Ele considerou N = 6 x 1023, valor conhecido da Teoria Cinética dos Gases. É oportuno observar que essa Fórmula de Einstein foi também obtida, independentemente, pelo físico polonês Marian von Smolan-Smoluchowski (1872-1917), em 1906 (Annalen der Physik 21, p. 756) e pelo físico francês Paul Langevin (1876-1946), em 1908 (Comptes Rendus Hebdomadaires de Séances de l´Academie de Sciences de Paris 146, p. 530), usando modelos completamente diferentes do usado por Einstein. Smoluchowski, por exemplo, usou a Teoria das Flutuações, e Langevin, por sua vez, assumiu que o MB satisfaz a hoje famosa Equação de Langevin: , onde hn representa a força de fricção, X a força externa e F(t) a força de flutuação, forças essas que atuam numa partícula microscópica (por exemplo, uma partícula coloidal) de massa m, deslocando-se em um líquido de viscosidade h, com a velocidade n. Note-se que F(t) significa a força exercida pelas moléculas do líquido sobre a partícula. A confirmação experimental da Fórmula de Einstein-Smoluchowski-Langevin foi conseguida em vários trabalhos experimentais. Assim, em 1908, o físico francês Louis-César-Victor Maurice, Duque de Broglie (1875-1960), a demonstrou em sua Tese de Doutoramento, usando partículas de ferro suspensas em gases. O também físico francês Jean Baptiste Perrin (1870-1942; PNF, 1926), em 1909 (Annales de Chimie et Physique 18, p. 1), usou-a para determinar N e obter o seguinte valor: N = 68,2 x 1022moléculas/mol. Registre-se que trabalhos mais elaborados sobre o Movimento Browniano foram realizados pelo químico sueco Theodor Svedberg (1884-1971; PNQ, 1926), que os reuniu no livro intitulado Die Existenz der Moleküle, publicado em Leipzig, em 1912. Por sua vez, em 1923 (Journal of Mathematical Physics 2, p. 131), o matemático norte-americano Norbert Wiener (1894-1964) apresentou uma formulação matemática mais precisa para o caminho aleatório ("random walk"), ao considerar a posição de uma "partícula Browniana" como um aspecto importante em um processo estocástico. É oportuno salientar que, somente na década de 1960, foi descoberto que a lei do Movimento Browniano, cuja característica fundamental, conforme registramos acima, é o "random walk", havia sido descoberta (em outro contexto) pelo matemático francês Louis Bachelier (1870-1946), em sua Tese de Docteur em Sciences Mathématiques, intitulada Théorie de la Spéculation, defendida em 29 de março de 1900 na Academia de Paris, sendo seu orientador o matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912). Essa tese (publicada, ainda em 1900, nos Annales Scientifiques de l´Ecole Normale Supérieure 17, p. 21), que trata de opções de preços ("random walk") em mercados financeiros especulativos, recebeu as piores notas de seus examinadores e, portanto, foi rejeitada. Em vista disso, ela não foi considerada por seus professores e contemporâneos e, em conseqüência dessa rejeição, ele terminou sua vida como um obscuro professor em Besançon, capital de Doubs, departamento da região France-Comté, no leste da França (Ver: (http://cepa.newschool.edu/het/profiles/bachelier.htm). Segundo os físicos, o italiano Rosário Nunzio Mantegna (n. 1960) e o norte-americano Harry Eugene Stanley (n. 1941) em seu livro An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance (Cambridge University Press, 2001), o trabalho de Bachelier e seu desenvolvimento, principalmente o Modelo de Opção de Preço de Black & Scholes (Journal of Political Economics 81, p. 637, 1973), representam hoje um papel extremamente importante no Mercado Financeiro. Registre que o termo ECONOFÍSICA foi criado por Stanley, em 1996 (Nature 379, p. 804). [Este verbete é em homenagem ao físico-economista cearense Carlos Lenz César (n.1955) que chamou a minha atenção para o trabalho de Bachelier.]